Q.契約書を交わしていなくても契約はしたことになるのでしょうか？

ご実家を親戚に貸し出し中とのことですが、賃料を受け取っている前提でご回答します。
１．契約書を交わしていなくても、賃貸借契約は締結されていることになります。
２．ご親戚が今後も居住することを希望する場合は、前田様都合で出て行くことを強制することは難しいと考えられます。

以下、それぞれの理由についてご説明します。
１について、契約は当事者双方の意思が合致すれば成立しますので、契約書等の書面を作成しなければ、契約が成立しないというものではありません。
実務上契約書等を作成することが一般的であるのは、双方の意思の合意内容すなわち契約の内容を明らかにし、後日の紛争を防止することが主な理由となります。
前田様がご親戚に実家を居住させ、そのご親戚から賃料を受け取っていれば、ご実家についてご親戚に貸すこと及び賃料の支払いについて意思が合致しているといえますから、賃貸借契約が成立しているといえます。
なお、建物をいつまで貸すという合意がなければ、賃貸借期間の定めはないこととなります。

２について、期間の定めのない賃貸借契約は、申し入れの日から６ヶ月の経過をもって終了することとされています。
しかしながら、賃貸借契約の解約の申し入れを行うには、「正当事由」といって、貸主がその建物を使用する必要があったり、建物が極めて老朽化しており取り壊しをせざるをえないような事情が必要となります。
また、この「正当事由」がある場合でも、賃貸借契約の解約にあたっては、賃借人に相当の立退料を支払う必要があることもあります。
前田様が、単にご実家を売りたいとのことであれば、この「正当事由」の要件を満たさず、賃貸借契約の解約申し入れが認められない可能性が高いと考えられます。
そのような場合は、合意により賃貸借契約を解約することになりますが、場合によっては立退料として引っ越し費用や新しい住居の入居にあたっての初期費用を負担するなどの申し出をして、ご親戚の同意を得る必要があるかもしれません。

1.契約書を交わしていなくても、賃貸借契約は結んだことになるのでしょうか？
　賃料をもらって、建物に住まわせているのであれば
　契約書を交わしていなくても、賃貸借契約を結んだこととなります。
　
2.すでに住まわれている今、こちら都合で出て行ってもらうことは難しいでしょうか？
　賃料をもらって建物に住まわせている場合は、基本的には、賃料の不払い等の契約違反がなければ、契約を終了し、明け渡しを求めることは難しいです。
　以下、詳しくご説明します。
　契約書を交わしていないので、契約期間等は定めてはいないと思います。
　その場合に契約を終了し、明け渡しを求めるには、正当な理由を備えた上で、半年前に解約の申し入れをしなければなりません。
　正当な理由には、自分あるいは家族が使う必要がある、あるいは、税金を支払うために売却をすることが必要があるなどが挙げられます。
　立退料を支払うということもその額によっては正当な理由に当たる場合もあります。
　弁護士に面談で具体的な正当な事由があるかどうか事情を説明して相談された方がよいと思います。
　正当な事由はなかなか厳しいので、親類ということのようですので、事情を説明して引っ越し代を負担するから出て行ってほしいと話してみたらよいかもしれません。